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如图所示,已知AB∥GH∥IJ∥CD,AD∥EF∥BC,过点M,N分别作两条直线,设它们相交于于点P,如果点P在平行四边形ABCD内,且点P不在图中任何线段上,试判断∠P,∠PMH,∠PNJ三个角之间的关系
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如图所示,已知AB∥GH∥IJ∥CD,AD∥EF∥BC,过点M,N分别作两条直线,设它们相交于于点P,如果点P在平行四边形ABCD内,且点P不在图中任何线段上,试判断∠P,∠PMH,∠PNJ三个角之间的关系,并证明.
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答案和解析
当点P在四边形GMNI内(如图1),∠P+∠PMH+∠PNJ=360°
理由是:作PQ∥GH,且GH∥IJ,
∴PQ∥IJ∥GH
∴∠HMP+∠MPQ=180,∠PNJ+∠NPQ=180°,
∴∠MPN+∠PMH+∠PNJ=360°;
当点P在四边形BEMG内时(如图2),作PQ∥GH,且GH∥IJ,
∴PQ∥IJ∥GH,
∴∠EMH=∠ENJ,
又∵∠PME=∠MPN+∠PNE,
∴∠MPN+∠PNJ=∠PMH.
同理可证,当点P在四边形INFC内,∴∠MPN+∠PMH=∠PNJ;
当点P在四边形AEMH内(如图3),∵GH∥IJ,
∴∠PLH=∠PNJ,
又∵∠PLH=∠MPH+∠PML,
∴∠MPN+∠PMH=∠PNJ.
同理可证,当点P在四边形NJDF内,∠MPN+∠PNJ=∠PMH;
当点P在四边形MHJN内(如图4),作PQ∥GH,且GH∥IJ,
∴PQ∥IJ∥GH
∴∠PNJ=∠QPN,∠PMH=∠QPM,
∴∠MPN=∠PNJ+∠PMH.
理由是:作PQ∥GH,且GH∥IJ,
∴PQ∥IJ∥GH
∴∠HMP+∠MPQ=180,∠PNJ+∠NPQ=180°,
∴∠MPN+∠PMH+∠PNJ=360°;
当点P在四边形BEMG内时(如图2),作PQ∥GH,且GH∥IJ,
∴PQ∥IJ∥GH,
∴∠EMH=∠ENJ,
又∵∠PME=∠MPN+∠PNE,
∴∠MPN+∠PNJ=∠PMH.
同理可证,当点P在四边形INFC内,∴∠MPN+∠PMH=∠PNJ;
当点P在四边形AEMH内(如图3),∵GH∥IJ,
∴∠PLH=∠PNJ,
又∵∠PLH=∠MPH+∠PML,
∴∠MPN+∠PMH=∠PNJ.
同理可证,当点P在四边形NJDF内,∠MPN+∠PNJ=∠PMH;
当点P在四边形MHJN内(如图4),作PQ∥GH,且GH∥IJ,
∴PQ∥IJ∥GH
∴∠PNJ=∠QPN,∠PMH=∠QPM,
∴∠MPN=∠PNJ+∠PMH.
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