（2011•泉州模拟）已知函数f(x)＝ex−1ex，g(x)＝ex+1ex，动直线x=t分别与函数y=f（x）、y=g（x）的图象分别交于点A（t，f（t））、B（t，g（t）），在点A处作函数y=f（x）的图象的切线，记为直

Question

（2011•泉州模拟）已知函数f(x)＝ex−(1)/(ex)，g(x)＝ex+(1)/(ex)，动直线x=t分别与函数y=f（x）、y=g（x）的图象分别交于点A（t，f（t））、B（t，g（t）），在点A处作函数y=f（x）的图象的切线，记为直线l₁，在点B处作函数y=g（x）的图象的切线，记为直线l₂．
（Ⅰ）证明：不论t取何实数值，直线l₁与l₂恒相交；
（Ⅱ）若直线l₁与l₂相交于点P，试求点P到直线AB的距离；
（Ⅲ）当t＜0时，试讨论△PAB何时为锐角三角形？直角三角形？钝角三角形？

Answer 1

（Ⅰ）f′(x)＝ex+(1)/(ex)＝g(x)，g′(x)＝ex−(1)/(ex)＝f(x)，
∴直线l₁的斜率k1＝f′(t)＝et+(1)/(et)，直线l₂的斜率k2＝g′(t)＝et−(1)/(et)，
令k₁=k₂，得(2)/(et)＝0，此方程没有实数解，∴不论t取何实数值，直线l₁与l₂恒相交．
（Ⅱ）直线l₁的方程为：y=f（t）+g（t）（x-t），…①
直线l₂的方程为：y=g（t）+f（t）（x-t），…②
由①、②得：（g（t）-f（t））（x-t-1）=0．
∵g(t)−f(t)＝(2)/(et)＞0，∴x-t=1，又∵直线AB方程为x=t，直线AB垂直x轴，∴点P到直线AB的距离为1．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可求得P（t+1，2e^t），
①∵

BP

＝(1，et−(1)/(et))，

BA

＝(0，−(2)/(et))，
∴

BP

•

BA

＝−(2)/(et)(et−

作业帮用户 2017-10-22 举报

问题解析

（Ⅰ）求出两个函数的导数，即得切线的斜率，令这两条切线的斜率相等，此方程无解，故这两条切线的斜率一定不相等，得到直线l₁与l₂恒相交．
（Ⅱ）用点斜式求得直线l₁和直线l₂的方程，求得交点P的横坐标满足x-t=1，又直线AB方程为x=t，直线AB垂直x轴，
故点P到直线AB的距离为 1．
（Ⅲ）利用两个向量的数量积的定义、数量积公式可得∠B恒为锐角，且∠A恒为锐角，令

PA

•

PB

 分别小于0、等于
0、小于0，求出对应的t值，即得所求．

名师点评

本题考点：

三角形的形状判断；导数的几何意义；点到直线的距离公式．

考点点评：

本题考查导数的几何意义，点到直线的距离公式，两个向量的数量积的定义，数量积公式，三角形形状的判定，体现了分类讨论的数学思想．

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