在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AC1,A1B1的中点.点P在正方体的表面上运动,则总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长等于

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答案和解析

取BB1的中点E、CC1的中点F,连接AE、EF、FD,则BN⊥平面AEFD
设M在平面AB1中的射影为O,过MO与平面AEFD平行的平面为α
∴能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹为矩形,其周长与矩形AEFD的周长相等
∵正方体ABCD=A1B1C1D1的棱长为1
∴矩形AEFD的周长为2+根号5

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