磁悬浮列车是一种高速低耗的新型交通工具，它的驱动系统简化为如下模型。固定在列车下端的动力绕组可视为一个矩形纯电阻金属框，电阻为R，金属框置于xOy平面内，长边MN为l平行于y

Question

磁悬浮列车是一种高速低耗的新型交通工具，它的驱动系统简化为如下模型。固定在列车下端的动力绕组可视为一个矩形纯电阻金属框，电阻为R，金属框置于xOy平面内，长边MN为l平行于y轴，宽为d的NP边平行于x轴，如图1所示。列车轨道沿Ox方向，轨道区域内存在垂直于金属框平面的磁场，磁感应强度B沿Ox方向按正弦规律分布，其空间周期为λ，最大值为B ₀ ，如图2所示，金属框同一长边上各处的磁感应强度相同，整个磁场以速度v ₀ 沿Ox方向匀速平移。设在短暂时间内，MN、PQ边所在位置的磁感应强度随时问的变化可以忽略，并忽略一切阻力。列车在驱动系统作用下沿Ox方向加速行驶，某时刻速度为（v＜v ₀ ）。
（1）叙述列车运行中获得驱动力的原理；
（2）列车获得最大驱动力，写出MN、PQ边应处于磁场中的什么位置及λ与d之间应满足的关系式；
（3）计算在满足第（2）问的条件下列车速度为v时驱动力的大小。

Answer 1

（l）由于列车速度与磁场平移速度不同，导致穿过金属框的磁通量发生变化，由于电磁感应，金属框中会产生感应电流，该电流受到的安培力即为驱动力
（2）为使列车得最大驱动力，MN、PQ应位于磁场中磁感应强度同为最大值且反向的地方，这会使得金属框所围面积的磁通量变化率最大，导致框中电流最强，也会使得金属框长边中电流受到的安培力最大。因此，d应为 的奇数倍，即d＝(2k＋1) 或λ= (k∈N)　①
（3）由于满足第（2）问条件，则MN、PQ边所在处的磁感就强度大小均为B ₀ 且方向总相反，经短暂时间Δt，磁场沿Ox方向平移，同时，金属框沿Ox方向移动的距离为vΔt
因为v ₀ ＞v，所以在Δt时间内MN边扫过的磁场面积S＝(v ₀ －v)lΔt 　　
在此Δt时间内，MN边左侧穿过S的磁通移进金属框而引起框内磁通量变化 ＝B ₀ l(v ₀ －v)Δt ②
同理，该Δt时间内，PQ边左侧移出金属框的磁场引起框内磁通量变化 ＝B ₀ l(v ₀ －v)Δt ③ 　　
故在内金属框所围面积的磁通时变化 ＝ ＋  ④ 　　
根据法拉第电磁感应定律，金属框中感应电动势大小E＝  ⑤ 　　 　　
根据闭合电路欧姆定律有I＝  ⑥
根据安培力公式，MN边所受的安培力F _MN ＝B ₀ Il
PQ边所受的安培力F _PQ ＝B ₀ Il
根据左手定则，MN、PQ边所受的安培力方向，此时列车驱动力的大小F＝F _MN ＋F _PQ ＝2B ₀ Il ⑦
联立解得F＝ ⑧