求证：在公共的定义域内,奇函数与奇函数的和是奇函数?差呢?商呢?

Question

求证：在公共的定义域内,奇函数与奇函数的和是奇函数?差呢?商呢?

Answer 1

f1(x),f2(x)是奇函数
所以f1(-x)=-f1(x) f2(-x)=-f2(x)
设g(x)=f1(x)+f2(x)
g(-x)=f1(-x)+f2(-x)=-f1(x)-f2(x)=-(f1(x)+f2(x))=-g(x)
又因为是公共定义域,一定关于原点对称,所以和是奇函数
同理可以证明
设h(x)=f1(x)-f2(x)
h(-x)=f1(-x)-f2(-x)=-f1(x)+f2(x)=-(f1(x)-f2(x))=-h(x) 所以差是奇函数
设t(x)=f1(x)/f2(x)
t(-x)=f1(-x)/f2(-x)=-f1(x)/-f2(x)=f1(x)/f2(x)=h(x) 所以商是偶函数
当然前提是f2(x)不等于0