锐角三角形ABC,角A小于60度,在边AB,AC上各找一点P,Q,使得BQ+QP+PC最短还有给出数列1,1,2,3,.其一般式An=An-2+An-1（n=3,4,5,.）证：数列中任意两项的平方和是否仍在数列中还有一道恩

Question

锐角三角形ABC,角A小于60度,在边AB,AC上各找一点P,Q,使得BQ+QP+PC最短
还有
给出数列1,1,2,3,.其一般式An=An-2+An-1（n=3,4,5,.）
证：数列中任意两项的平方和是否仍在数列中
还有一道恩

Answer 1

任意两项的平方和不一定仍在该数列中,例如 1^2+3^2=10就不属于该数列.
但是,该数列任意相邻两项的平方和仍属于该数列.例如
1^2+1^2=2; 3^2+5^2=34,……
证明如下：
a(n+1)^2+a(n)^2
=(a(n)+a(n-1))^2+a(n)^2
=2a(n)^2+2a(n)a(n-1)+a(n-1)^2;
另一方面,
a(2n+1)=(a(2n)+a(2n-1))
=2a(2n-1)+a(2n-2)
=a(3)*a(2n-1)+a(2)*a(2n-2)
=……
=a(n)a(n+3)+a(n-1)a(n+1)
=a(n)a(n+2)+a(n)a(n+1)+a(n-1)a(n)+a(n-1)^2
=2a(n)^2+2a(n)a(n-1)+a(n-1)^2.
证完.