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蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规律
题目详情
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/8694a4c27d1ed21bb4810d1cae6eddc450da3ffa.jpg)
(1)试给出f(4),f(5)的值;
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n+1)与f(n)之间的关系式,并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式;
(3)证明:
1 |
f(1) |
1 |
f(2) |
1 |
f(3) |
1 |
f(n) |
4 |
3 |
▼优质解答
答案和解析
(1)f(4)=37,f(5)=61.
(2)由于f(2)-f(1)=7-1=6,
f(3)-f(2)=19-7=2×6,
f(4)-f(3)=37-19=3×6,
f(5)-f(4)=61-37=4×6,
因此,有f(n+1)-f(n)=6n,
所以f(n)=[f(n)-f(n-1)]+[f(n-1)-f(n-2)]+…+[f(2)-f(1)]+f(1)
=6[(n-1)+(n-2)+…+2+1]+1=3n2-3n+1.
又f(1)=1=3×12-3×1+1,所以f(n)=3n2-3n+1.
(3)证明:当k≥2时,
=
<
=
(
-
)
所以
+
+
+…+
<1+
[(1-
)+(
-
)+…+(
-
)]=1+
(1-
)<1+
=
.
(2)由于f(2)-f(1)=7-1=6,
f(3)-f(2)=19-7=2×6,
f(4)-f(3)=37-19=3×6,
f(5)-f(4)=61-37=4×6,
因此,有f(n+1)-f(n)=6n,
所以f(n)=[f(n)-f(n-1)]+[f(n-1)-f(n-2)]+…+[f(2)-f(1)]+f(1)
=6[(n-1)+(n-2)+…+2+1]+1=3n2-3n+1.
又f(1)=1=3×12-3×1+1,所以f(n)=3n2-3n+1.
(3)证明:当k≥2时,
1 |
f(k) |
1 |
3k2−3k+1 |
1 |
3k2−3k |
1 |
3 |
1 |
k−1 |
1 |
k |
所以
1 |
f(1) |
1 |
f(2) |
1 |
f(3) |
1 |
f(n) |
1 |
3 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
n−1 |
1 |
n |
1 |
3 |
1 |
n |
1 |
3 |
4 |
3 |
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