（2014•房山区二模）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），短轴的一个端点为M，△MF1F2为等边三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点（0，-2）

Question

（2014•房山区二模）已知椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），短轴的一个端点为M，
△MF₁F₂为等边三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过点（0，-2）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，在直线y=-(1)/(2)上是否存在点N，使得四边形OANB为矩形？若存在，求出N点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）∵椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），
短轴的一个端点为M，△MF₁F₂为等边三角形，
∴c=1，a=2c=2，∴b²=4-1=3，
∴椭圆C的标准方程为(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1．
（Ⅱ）在直线y=-(1)/(2)上是不存在点N，使得四边形OANB为矩形．
理由如下：
∵（0，-2）是椭圆C的左顶点，过点（0，-2）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，
∴A（0，-2）或B（0，-2），
∴OA⊥AN不成立，
∴直线y=-(1)/(2)上是不存在点N，使得四边形OANB为矩形．