设A为n阶非零方阵，A*是A的伴随矩阵，A′是A的转置矩阵，当A*=A′时，证明|A|≠0．

Question

设A为n阶非零方阵，A^*是A的伴随矩阵，A′是A的转置矩阵，当A^*=A′时，证明|A|≠0．

Answer 1

∵AA^*=A^*A=|A|E，而A^*=A′，
∴AA′=|A|E，
设：A=（a_ij），AA′=（c_ij），
则：cii＝(ai1，ai2，…，ain)

ai1

ai2

…

ain

=ai12+ai22+…+ain2，
而A为n阶非零方阵，因而至少存在一个a_ij≠0，
则：c_ii＞0，
根据AA′=|A|E，知AA′的第i行第i列元素等于|A|，
∴|A|=c_ii＞0，
故：|A|≠0，证毕．