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Sinx的导数=cosx与cosx的导数=-sinx怎样推导
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Sin x 的导数=cos x 与cos x的导数=-sin x 怎样推导
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答案和解析
第一题:按照三角函数公式和导数的定义就可以证明
lim(Δy/Δx)
Δx->0
=lim{[sin(x+Δx)-sin(x)]/Δx}
Δx->0
=lim[2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/Δx]
Δx->0
=lim[cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/Δx/2]
Δx->0
由cos(x)的连续性,有limcos(x+Δx/2) = cos(x)
Δx->0
以及lim[sin(Δx/2)/Δx/2] = 1
Δx->0
故得
lim(Δy/Δx)
Δx->0
=limcos(x+Δx/2)*lim[sin(Δx/2)/Δx/2]
Δx->0 Δx->0
=cos(x)*1
=cos(x)
第二题:
(1)利用导数的定义:
[cos(x)]'=lim{[cos(x+h)-cos(x)]/h}
注意:极限过程是h→0
(2)利用三角公式中的和差化积公式:
[cos(x)]'=lim{[cos(x+h)-cos(x)]/h}
=lim{(1/h)*[-2sin(x+h/2)*sin(h/2)]}
=lim{-sin(x+h/2)*[sin(h/2)/(h/2)]}
(3)在高数极限一章我们已经熟知的重要极限:
lim[sin(x)/x]=1(极限过程是x→0)
(4)[cos(x)]'=-sin(x),得证.
你的好评是我前进的动力.
我在沙漠中喝着可口可乐,唱着卡拉ok,骑着狮子赶着蚂蚁,手中拿着键盘为你答题!
lim(Δy/Δx)
Δx->0
=lim{[sin(x+Δx)-sin(x)]/Δx}
Δx->0
=lim[2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/Δx]
Δx->0
=lim[cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/Δx/2]
Δx->0
由cos(x)的连续性,有limcos(x+Δx/2) = cos(x)
Δx->0
以及lim[sin(Δx/2)/Δx/2] = 1
Δx->0
故得
lim(Δy/Δx)
Δx->0
=limcos(x+Δx/2)*lim[sin(Δx/2)/Δx/2]
Δx->0 Δx->0
=cos(x)*1
=cos(x)
第二题:
(1)利用导数的定义:
[cos(x)]'=lim{[cos(x+h)-cos(x)]/h}
注意:极限过程是h→0
(2)利用三角公式中的和差化积公式:
[cos(x)]'=lim{[cos(x+h)-cos(x)]/h}
=lim{(1/h)*[-2sin(x+h/2)*sin(h/2)]}
=lim{-sin(x+h/2)*[sin(h/2)/(h/2)]}
(3)在高数极限一章我们已经熟知的重要极限:
lim[sin(x)/x]=1(极限过程是x→0)
(4)[cos(x)]'=-sin(x),得证.
你的好评是我前进的动力.
我在沙漠中喝着可口可乐,唱着卡拉ok,骑着狮子赶着蚂蚁,手中拿着键盘为你答题!
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