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已知抛物线y=ax^2+bx+c(a≠2)的对称轴为x=1,与x轴交于A、B两点,与y轴教于C,其中A(-3,0)(1)求这条抛物线的解析式(2)已知在抛物线的对称轴上存在一点P,使得△PBC的周长最小,试求点P的坐标.

题目详情
已知抛物线y=ax^2+bx+c(a≠2)的对称轴为x=1,与x轴交于A、B两点,与y轴教于C,其中A(-3,0)
(1)求这条抛物线的解析式
(2)已知在抛物线的对称轴上存在一点P,使得△PBC的周长最小,试求点P的坐标.
(3)若点D是线段OC上的一个动点(不与点O、C重合),过点D作DE∥PC交x轴与点E,连接PD、PE,设CD的长时m.△PDE的面积为S,求S与m之间的函数关系式.试说明S是否存在最大值,若存在,求最大值:若不存在,请说明理由.
打错了,题目对称轴x=-1
▼优质解答
答案和解析
我来帮你解好了
(1)由题意得{b/2a=1,9a-3b+c=0,c=-2,
解得{a=2/3b=4/3c=-2,
∴此抛物线的解析式为y=2/3x2+4/3x-2.
(2)连接AC、BC.
因为BC的长度一定,
所以△PBC周长最小,就是使PC+PB最小.
B点关于对称轴的对称点是A点,AC与对称轴x=-1的交点即为所求的点P.
设直线AC的表达式为y=kx+b,
则{-3k+b=0,b=-2,
解得{k=-2/3,b=-2,
∴此直线的表达式为y=-2/3x-2,
把x=-1代入得y=-4/3
∴P点的坐标为(-1,-4/3).
(3)S存在最大值,
理由:∵DE∥PC,即DE∥AC.
∴△OED∽△OAC.
∴OD/OC=OE/OA,即2-m/2=OE/3,
∴OE=3-3/2m,OA=3,AE=3/2m,
∴S=S△OAC-S△OED-S△AEP-S△PCD
=1/2×3×2-1/2×(3-3/2m)×(2-m)-1/2×3/2m×4/3-1/2×m×1
=-3/4m2+3/2m=-3/4(m-1)2+3/4
∵-3/4<0
∴当m=1时,S最大=3/4.