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阅读下列材料:问题:如图1,P为正方形ABCD内一点,且PA:PB:PC=1:2:3,求∠APB的度数.小娜同学的想法是:不妨设PA=1,PB=2,PC=3,设法把PA、PB、PC相对集中,于是他将△BCP绕点B顺时针旋
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阅读下列材料:
问题:如图1,P为正方形ABCD内一点,且PA:PB:PC=1:2:3,求∠APB的度数.
小娜同学的想法是:不妨设PA=1,PB=2,PC=3,设法把PA、PB、PC相对集中,于是他将△BCP绕点B顺时针旋转90°得到△BAE(如图2),然后连接PE,问题得以解决.
请你回答:图2中∠APB的度数为______.
请你参考小娜同学的思路,解决下列问题:
如图3,P是等边三角形ABC内一点,已知∠APB=115°,∠BPC=125°.
(1)在图3中画出并指明以PA、PB、PC的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹);
(2)求出以PA、PB、PC的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于______.
![](https://www.zaojiaoba.cn/zhidao/pic/item/b7fd5266d0160924c16ee6e8d70735fae7cd34fd.jpg)
问题:如图1,P为正方形ABCD内一点,且PA:PB:PC=1:2:3,求∠APB的度数.
小娜同学的想法是:不妨设PA=1,PB=2,PC=3,设法把PA、PB、PC相对集中,于是他将△BCP绕点B顺时针旋转90°得到△BAE(如图2),然后连接PE,问题得以解决.
请你回答:图2中∠APB的度数为______.
请你参考小娜同学的思路,解决下列问题:
如图3,P是等边三角形ABC内一点,已知∠APB=115°,∠BPC=125°.
(1)在图3中画出并指明以PA、PB、PC的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹);
(2)求出以PA、PB、PC的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于______.
![](https://www.zaojiaoba.cn/zhidao/pic/item/b7fd5266d0160924c16ee6e8d70735fae7cd34fd.jpg)
▼优质解答
答案和解析
如图2.
∵根据旋转的性质知∠PBE=90°,△BCP≌△BAE.
∴BP=BE,PC=AE,
∴∠BPE=∠BEP=45°.
又PA:PB:PC=1:2:3,
∴AE2=AP2+PE2,
∴∠APE=90°,
∴∠APB=∠APE+∠BPE=90°+45°=135°,即图2中∠APB的度数为135°.
故答案是:135°;
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/78310a55b319ebc43f33326a8126cffc1f1716fd.jpg)
(1)如图3,将△BCP绕点C顺时针旋转60°得到△ACM,然后连接PM,△APM即为所求,即以PA、PB、PC的长度为三边长的一个三角形是△APM.以PA、PB、PC的长度为三边长的一个三角形是△APM.
(2)如图3.
∵根据旋转的性质知∠PCM=60°,△BCP≌△ACM.
∴PC=CM,∠AMC=∠BPC=125°,
∴△PCM是等边三角形,
∴∠MPC=∠PMC=60°,∠AMP=∠AMC-∠PMC=65°.
∵∠APB=115°,∠BPC=125°,∠APB+∠BPC+∠MPC+∠APM=360°,
∴∠APM=60°,
∴∠PAM=180°-∠APM-∠AMP=55°.
∴以PA、PB、PC的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于 60°、65°、55°.
故答案是:60°、65°、55°.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/ac4bd11373f0820221d9d5cc48fbfbedaa641bfd.jpg)
∵根据旋转的性质知∠PBE=90°,△BCP≌△BAE.
∴BP=BE,PC=AE,
∴∠BPE=∠BEP=45°.
又PA:PB:PC=1:2:3,
∴AE2=AP2+PE2,
∴∠APE=90°,
∴∠APB=∠APE+∠BPE=90°+45°=135°,即图2中∠APB的度数为135°.
故答案是:135°;
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/78310a55b319ebc43f33326a8126cffc1f1716fd.jpg)
(1)如图3,将△BCP绕点C顺时针旋转60°得到△ACM,然后连接PM,△APM即为所求,即以PA、PB、PC的长度为三边长的一个三角形是△APM.以PA、PB、PC的长度为三边长的一个三角形是△APM.
(2)如图3.
∵根据旋转的性质知∠PCM=60°,△BCP≌△ACM.
∴PC=CM,∠AMC=∠BPC=125°,
∴△PCM是等边三角形,
∴∠MPC=∠PMC=60°,∠AMP=∠AMC-∠PMC=65°.
∵∠APB=115°,∠BPC=125°,∠APB+∠BPC+∠MPC+∠APM=360°,
∴∠APM=60°,
∴∠PAM=180°-∠APM-∠AMP=55°.
∴以PA、PB、PC的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于 60°、65°、55°.
故答案是:60°、65°、55°.
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