正方体abcd-a1b1c1d1中凌长AB=1,则嫕、异面直线AB1与BC1的距离为多少?

Question

正方体abcd-a1b1c1d1中凌长AB=1,则嫕、异面直线AB1与BC1的距离为多少?

Answer 1

设MN是异面直线AB1和BC1的公垂线,
M在AB1上,N在BC1上,
以A为原点,分别以AB、AD、AA1为X、Y、Z轴建立空间坐标系,
A（0,0,0）,B（1,0,0）,B1（1,0,1）,C1（1,1,1）,
向量AB1=（1,0,1）,向量BC1=（0,1,1）,
设M（x1,0,x1),N(1,y2,y2),
向量MN=（1-x1,y2,y2-x1),
∵向量MN⊥AB1,
∴MN·AB1=1-x1+y2-x1=1-2x1+y2=0,
x1=(1+y2)/2,
∵向量MN⊥BC1,
∴MN·BC1=0+y2+y2-x1=2y2-x1=0,
x1=2y2,
∴ y2=1/3,
x1=2/3,
∴向量MN=（1/3,1/3,-1/3）,
∴|MN|=√[（1/3)^2+(1/3)^2+(-1/3)^2]=√3/3,
∴异面直线AB1与BC1的距离为√3/3.