已知a b属于R 比较a^a·b^b与（ab)^[(a+b)/2]的大小

Question

已知a b属于R 比较a^a·b^b与（ab)^[(a+b)/2]的大小

Answer 1

(a^a*b^b)/(ab)^[(a+b)/2]
=a^[(a-b)/2] * b^[(b-a)/2]
=(a/b)^(a-b)/2
当a小于b时,a/b小于1,(a^ab^b)/(ab)^[(a+b)/2]小于1,
此时,a^a·b^b 小于（ab)^[(a+b)/2]
当a等于b时,a/b等于1,(a-b)等于0,(a^ab^b)/(ab)^[(a+b)/2]等于1,
此时,a^a·b^b 等于（ab)^[(a+b)/2]
当a大于b时,a/b大于1,(a^ab^b)/(ab)^[(a+b)/2]大于1,
此时,a^a·b^b 大于（ab)^[(a+b)/2]
综上:当a小于b时,a^a·b^b 小于（ab)^[(a+b)/2]
当a等于b时,a^a·b^b 等于（ab)^[(a+b)/2]
当a大于b时,a^a·b^b 大于（ab)^[(a+b)/2]