几道大一不定积分题目求解,（1）求dx/根x+三次根x（2）dx/(1+x^2)^2(3)dx/根(1-x-x^2)

Question

几道大一不定积分题目求解,
（1）求dx/根x+三次根x
（2）dx/(1+x^2)^2
(3)dx/根(1-x-x^2)

Answer 1

1. 令x=t^6,则根号x=t³, 三次根号x=t², dx=t^5 dt
于是原式=∫ t^5/ (t³+t²)dt
=∫ t³/(1+t)dt
=∫ (t³-1+1)/(1+t)dt
=∫ (t²+t+1)dt+∫1/(1+t)dt
=(1/3)t³+(1/2)t²+t+ln|1+t|+C
=(1/3)根号x+(1/2)三次根号x+六次根号x+ln|1+六次根号x|+C
2. 令x=tant,则1+x²=1+tan²t=sec²t, dx=sec²tdt
原式=∫ sec²t/(sect)^4 dt
=∫cos²tdt
=0.5∫ (1+cos2t)dt
=0.5t+0.25sin2t+C
=0.5arctanx+2x/(1+x²)+C
3. 原式=∫ 1÷[-(x-0.5)²+1.25]^(1/2) dx
=arcsin [(2x-1)/√5]+C
其中√x表示根号x
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