（2014•南京模拟）设整数n≥3，集合P={1，2，3，…，n}，A，B是P的两个非空子集．记an为所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对（A，B）的个数．（1）求a3；（2）求an．

Question

_n
3
n

Answer 1

（1）当n=3时，P={1，2，3 }，
其非空子集为：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，
则所有满足题意的集合对（A，B）为：
（{1}，{2}），（{1}，{3}），（{2}，{3}），
（{1}，{2，3}），（{1，2}，{3}）共5对，
∴a₃3=5．…（3分）
（2）设A中的最大数为k，其中1≤k≤n-1，整数n≥3，
则A中必含元素k，另元素1，2，…，k-1，
可在A中，故A的个数为：

C

0 k-1

+C

1 k-1

+…

+C

k-1 k-1

=2

C

0 k-1

C

0

k-1

CC

0

k-1

0

0

k-1

k-1

+C

1 k-1

+C

1

k-1

+C+C

1

k-1

1

1

k-1

k-1+…

+C

k-1 k-1

+C

k-1

k-1

+C+C

k-1

k-1

k-1

k-1

k-1

k-1=2 2 2