A为n阶反称矩阵,当且仅当对任意n维向量X,都有X^TAX=0.这个怎么证

Question

A为n阶反称矩阵,当且仅当对任意n维向量X,都有X^TAX=0.这个怎么证

Answer 1

设A反对称,A′＝-A 注意X′AX是一个数,﹙X′AX﹚′＝X′AX
另一方面,﹙X′AX﹚′＝X′A′X′′＝X′﹙-A﹚X＝-X′AX
∴X′AX＝-X′AX X′AX＝0

反之,设对任意n维列向量X,都有X′AX=0 设A＝﹙aij﹚
取X′＝﹙0……0 1 0……0﹚[第i个是1,其他全部是0] X′AX＝aii＝0 说明A的对角元全部是0.
取X′＝﹙﹙0……0 1 0……0 1 0……0﹚[第i,j个是1,i≠j 其他全部是0]
X′AX＝aii+aji+aij+ajj＝aji+aij＝0 aji＝-aij A′＝-A A反对称.