设A为实数集且满足条件:若a∈A,则1/(1-a)∈A(a不等于1）怎么证明A不可能是单元素集还有怎么证明A中至少有3个不同元素

Question

设A为实数集且满足条件:若a∈A,则1/(1-a)∈A(a不等于1）怎么证明A不可能是单元素集
还有怎么证明A中至少有3个不同元素

Answer 1

证明A不可能是单元素集
假设当a不等于1时,
a=1/(1-a) ,则有a-a^2=1,...a^2-a+1=0这个方程根的判别式小于0,无解,得出矛盾.假设不成立.
若a∈A,则1/(1-a)∈A,显然A中至少有两个不同的元素a和1/(1-a)
再证明A中至少有3个元素.
已经知道a和1/(1-a)不相等,且都属于A,设t=1/(1-a),
显然有t∈A,则1/(1-t)∈A..
我们已经知道t和1/(1-t)不相等,a和t不相等,再证明a和1/(1-t)
不相等就可以了,
用同样的办法,假设a=1/(1-t),把t=1/(1-a)带入,同样得出矛盾
a^2-a+1=0
因此,假设不成立,三个数a,t和1/(1-t)互不相等