设角A,B,C为三角形ABC的三个内角,已知cos(B+C)+sin^2(A/2)=5/4.(1)求角A的大小;(2)若AB×AC=-1,求BC边上的高AD长的最大值

Question

设角A,B,C为三角形ABC的三个内角,已知cos(B+C)+sin^2(A/2)=5/4.
(1)求角A的大小;(2)若AB×AC=-1,求BC边上的高AD长的最大值

Answer 1

第一个问题：
∵cos（B＋C）＋［sin（A/2）］^2＝5/4,∴2cos（B＋C）＋2［sin（A/2）］^2＝5/2,
∴2cos（180°－A）＋1－cosA＝5/2,∴－2cosA＋1－cosA＝5/2,∴3cosA＝1－5/2＝－3/2,
∴cosA＝－1/2,∴A＝120°.
第二个问题：
∵cosA＝向量AB·向量AC/（AB×AC）＝－1/2,∴－1/（AB×AC）＝－1/2,∴AB×AC＝2,
∴S(△ABC)＝（1/2）AB×ACsinA＝（1/2）BC×AD,∴BC×AD＝2sin120°＝√3.
显然,当BC取最小值时,AD有最大值.
由余弦定理,有：
BC^2
＝AB^2＋AC^2－2AB×ACcosA＝（AB＋AC）^2－2AB×AC－2AB×ACcosA
≧［2√（AB×AC）］^2－2AB×AC－2AB×ACcosA＝4AB×AC－2AB×AC－2AB×ACcosA
＝2AB×AC－2AB×ACcosA＝2√3－2√3×（－1/2）＝2√3＋√3＝3√3＝3^（3/2）,
∴BC的最小值＝3^（3/4）,∴AD的最大值＝√3/［3^（3/4）］＝3^（1/2－3/4）＝1/3^（1/4）.