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已知正实数a,b满足a+2b=1,则a²+4b²+1/ab的最小值为 （望有清晰的过程）
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已知正实数a,b满足a+2b=1,则a²+4b²+1/ab的最小值为 （望有清晰的过程）
▼优质解答
答案和解析
设c=2b,则a+c=1
a²+4b²+1/ab=a²+c²+2/ac
∵a²+c²≥2ac
∴2(a²+c²)≥(a+c)²=1
∴a²+c²≥1/2
而2√(ac)≤a+c=1
∴ac≤1/4 => 1/ac≥4
∴a²+c²+2/ac≥1/2+8=17/2
当a=c=1/2,即b=1/4时,取到等号
∴a²+4b²+1/ab的最小值为17/2
a²+4b²+1/ab=a²+c²+2/ac
∵a²+c²≥2ac
∴2(a²+c²)≥(a+c)²=1
∴a²+c²≥1/2
而2√(ac)≤a+c=1
∴ac≤1/4 => 1/ac≥4
∴a²+c²+2/ac≥1/2+8=17/2
当a=c=1/2,即b=1/4时,取到等号
∴a²+4b²+1/ab的最小值为17/2
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