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设A为n阶矩阵,证明A的转置与A的特征值相同.
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设A为n阶矩阵,证明A的转置与A的特征值相同.
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答案和解析
A^T 指A的转置,要求一个矩阵的特征值,先求特征多项式,即|λE-A|=0
A的转置的特征多项式 |λE-A^T|=0 ,
因 (λE-A)^T=(λE)^T-A^T=λE-A^T
所以|λE-A|=|(λE-A)^T|=|λE-A^T|
所以两个矩阵的特征多项式一样,所以其特征值相同
A的转置的特征多项式 |λE-A^T|=0 ,
因 (λE-A)^T=(λE)^T-A^T=λE-A^T
所以|λE-A|=|(λE-A)^T|=|λE-A^T|
所以两个矩阵的特征多项式一样,所以其特征值相同
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