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2sin^2(α+β)+sin(α+β)cos(α+β)+3cos^2(α+β)化简成tanα,tanβ
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2sin^2(α+β)+sin(α+β)cos(α+β)+3cos^2(α+β)化简成tanα,tanβ
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答案和解析
2sin^2(α+β)+sin(α+β)cos(α+β)+3cos^2(α+β)
=cos^2(α+β)(2tan^2(α+β)+tan(α+β)+3)
因为cos^2(α+β)=1/(1+tan^2(α+β)),tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα*tanβ),
所以原式=1/(1+tan^2(α+β))*(2(1+tan^2(α+β))+1+tan(α+β))=2+(1+tan(α+β))/(1+tan^2(α+β))
=2+1/((1-tanα*tanβ)*(1+tan^2(α+β)))=2+(1-tanα*tanβ)/(1+tan^2(α)+tan^2(β)+tan^2(α)tan^2(β))
=cos^2(α+β)(2tan^2(α+β)+tan(α+β)+3)
因为cos^2(α+β)=1/(1+tan^2(α+β)),tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα*tanβ),
所以原式=1/(1+tan^2(α+β))*(2(1+tan^2(α+β))+1+tan(α+β))=2+(1+tan(α+β))/(1+tan^2(α+β))
=2+1/((1-tanα*tanβ)*(1+tan^2(α+β)))=2+(1-tanα*tanβ)/(1+tan^2(α)+tan^2(β)+tan^2(α)tan^2(β))
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