一道求压力和做功的微积分问题有一椭圆球壳,方程为x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1,将上半部去掉,然后向其中灌满密度为p的液体.求：（1）液体对球壳的总压力.（2）若要把液体全部抽出,至少需要做

Question

一道求压力和做功的微积分问题
有一椭圆球壳,方程为x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1,将上半部去掉,然后向其中灌满密度为p的液体.求：（1）液体对球壳的总压力 .（2）若要把液体全部抽出,至少需要做多少功?请给出具体过程,
压力还有水平方向的,所以它>重力.

Answer 1

1.压力等于液体重力,
所以总压力为2/3*π*a*b*c*p
2.对于垂直于z轴,z坐标为z的垂面,其椭圆方程为x^2/[a^2*(1+z^2/c^2)] +y^2/[b^2*(1+z^2/c^2)]=1
其面积为πab(1+z^2/c^2)
为了把这个截面上方dz厚度的液体抽出,需要克服的势能为
zpπab(1+z^2/c^2) * g dz
对它在(0,-c)积分∫zpπab(1+z^2/c^2) * g dz=pπabg*c^2/2∫(1+z^2/c^2)d(1+z^2/c^2)
=pπabg*c^2/2