设△ABC内接于⊙O,其中AB为⊙O的直径,PA⊥平面ABC.cos∠ABC=5/6,PA:PB=4:5,求直线PB和平面PAC所成角的大小.

Question

设△ABC内接于⊙O,其中AB为⊙O的直径,PA⊥平面ABC.
cos∠ABC=5/6,PA:PB=4:5,求直线PB和平面PAC所成角的大小.

Answer 1

因为AB是圆的直径,所以角ACB=90
BC垂直于AC
因为PA垂直于平面ABC
所以PA垂直于BC
由此得,BC垂直于平面PAC
所以直线PB和平面PAC所成角即为角BPC
为计算方便,设AB=6,则BC=AB*cos角ABC=5
因为PA:PB=4:5,不妨设PA=4x,PB=5x,则有
16x²+36=25x²
x²=4,x=2
所以PB=5x=10
在三角形PAC中
sin角BPC=BC/PB=5/10=1/2
所以角BPC=30
直线PB和平面PAC所成角的大小为30度