求条件极值将周长为2p的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体,问矩形的边长各为多少时,才可使圆柱体的体积最大?我想用拉格朗日乘数法做,这个辅助函数写的对不对?L(X,Y)=π*x^2*y+λ（x+y-p)如

Question

求条件极值
将周长为2p的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体,问矩形的边长各为多少时,才可使圆柱体的体积最大?
我想用拉格朗日乘数法做,这个辅助函数写的对不对?L(X,Y)=π*x^2*y+λ（x+y-p)
如果对的话,

Answer 1

答：
不用那么复杂吧?
设旋转的边长为x,则另外一个边长为p-x即为旋转的底面半径
体积V=[ π(p-x)^2 ]*x
=(π/2)*(p-x)*(p-x)*2x
因为：
(p-x)+(p-x)+2x>=3³√[(p-x)*(p-x)*2x]
所以：3³√[(p-x)*(p-x)*2x]