如图,Rt三角形ABC中,∠C=90°,sinB=4/5,AC=4,D是BC的延长线上的一个动点,∠EDA=∠B,AE//BC.（1）找出图中的相似三角形,并加以证明（2）设CD=x,AE=y,求y关于x的解析式,并加以证明（写出步骤）

Question

如图,Rt三角形ABC中,∠C=90°,sinB=4/5,AC=4,D是BC的延长线上的一个动点,∠EDA=∠B,AE//BC.
（1）找出图中的相似三角形,并加以证明
（2）设CD=x,AE=y,求y关于x的解析式,并加以证明
（写出步骤）

Answer 1

（1）△ADE∽△DBA,理由为：
证明：∵AE∥BC,
∴∠EAD=∠ADB,
∵∠EDA=∠B,
∴△ADE∽△DBA；
（2）∵在Rt△ABC中,∠C=90°,sinB=4/5 ,AC=4,
∴AB=AC sinB=5,∴BC=AB2−AC2 =3,
∵△ADE∽△DBA,
∴AE/DA =AD/DB ,
设CD=x,AE=y,
则BD=BC+CD=3+x,AD=
AC2+CD2 =x2+16 ,
∴y /x2+16 =x2+16/x+3 ,
∴y=1 /x+3（x2+16)（x＞0）；
（3）分三种情况考虑：
当△ADE为等腰三角形,且AE=AD时,如图所示：
∵△ADE∽△DBA,
∴△DBA也为等腰三角形,即DB=DA,此时四边形ABDE为平行四边形,
设AE=AD=BD=x,则有CD=BD-BC=x-3,
在Rt△ACD中,根据勾股定理得：AD2=AC2+CD2,即x2=42+（x-3）2,
解得：x=25 /6 ,
此时AE=25 / 6 ；
当△ADE为等腰三角形,且AE=DE时,如图所示：
∵△ADE∽△DBA,
∴AD=AB=5,
在Rt△ACD中,AC=4,AD=5,
根据勾股定理得：CD=3,
故BD=BC+CD=3+3=6,
∴AE / AD =AD / BD ,即
AE / 5 =5 / 6 ,解得：AE=25 /6 ；
当△ADE为等腰三角形,且AD=DE时,如图所示：
∵△ADE∽△DBA,
∴BD=AB=5,
故CD=BD-BC=5-3=2,
在Rt△ACD中,AC=4,CD=2,
根据勾股定理得：AD=25 ,∴
AE /AD =AD / BD ,即AE / 25 =25 / 5 ,
解得：AE=4,
综上,AE的值为4或
25 / 6 ．