已知函数f(x)=x2-2ax-2alnx,g(x)=ln2x+2a2,其中x>0,a属于R,若f（x）在区间（2,正无穷上单调递增求a的取值范围

Question

已知函数f(x)=x2-2ax-2alnx,g(x)=ln2x+2a2,其中x>0,a属于R,若f（x）在区间（2,正无穷上单调递增
求a的取值范围

Answer 1

答：
f(x)=x^2-2ax-2alnx,x>0
求导：
f'(x)=2x-2a-2a/x
f(x)在x>2时是单调递增函数
所以：x>=2时,f'(x)=2x-2a-2a/x>=0恒成立
所以：
x^2-(x+1)a>=0
(x+1)a<=x^2
a<=(x^2)/(x+1)
=[(x+1-1)^2]/(x+1)
=[(x+1)^2-2(x+1)+1]/(x+1)
=(x+1)+1/(x+1)-2
因为：x>=2,x+1>=3
所以：(x+1)+1/(x+1)>=2√[(x+1)*1/(x+1)]=2
当且仅当x+1=1/(x+1)即x+1=1即x=0时取得最小值2
所以：x+1>1时(x+1)+1/(x+1)是单调递增函数
所以：x+1=3时取得最小值(x+1)+1/(x+1)=3+1/3=10/3
所以：(x+1)+1/(x+1)-2>=10/3-2=4/3>=a
综上所述,a<=4/3