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如图三棱锥P-ABC中,△ABC是正三角形,∠PCA=90°,D为PA的中点,二面角P-AC-B为120°,PC=2,AB=23.(Ⅰ)求证:AC⊥BD;(Ⅱ)求BD与底面ABC所成角的正弦值.
题目详情
如图三棱锥P-ABC中,△ABC是正三角形,∠PCA=90°,D为PA的中点,二面角P-AC-B为120°,PC=2,AB=2
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(Ⅰ)求证:AC⊥BD;
(Ⅱ)求BD与底面ABC所成角的正弦值.
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(Ⅰ)求证:AC⊥BD;
(Ⅱ)求BD与底面ABC所成角的正弦值.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)证明:取AC中点E,连DE、BE,
则DE∥PC,PC⊥AC
∴DE⊥AC …(2分)
又△ABC是正三角形可得BE⊥AC
由线面垂直的判定定理知AC⊥平面DEB,又BD⊂平面BED
∴AC⊥BD …(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)中知DE⊥AC,BE⊥AC
∴∠DEB是二面角P-AC-B的平面角,∴∠DEB=120°
又AB=2
其中线 BE=
AB=3DE=
PC=1
∵AC⊥平面BDE,AC⊂平面ABC
∴平面ABC⊥平面BDE且交线为BE,…(7分)
过D作平面ABC的垂线DF,垂足F必在直线BE上
又∠DEB=120°,∴设F在BE延长线上,则∠DBE即为BD与底面ABC所成的角 …(9分)
又△DEB中 DB2=DE2+BE2-2BE•DEcos120°=13,∴BD=
由正弦定理:
=
,
∴sin∠DBE=
,即BD与底面ABC所成的角的正弦值为
…(12分)
则DE∥PC,PC⊥AC
∴DE⊥AC …(2分)
又△ABC是正三角形可得BE⊥AC
由线面垂直的判定定理知AC⊥平面DEB,又BD⊂平面BED
∴AC⊥BD …(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)中知DE⊥AC,BE⊥AC
∴∠DEB是二面角P-AC-B的平面角,∴∠DEB=120°
又AB=2
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2 |
∵AC⊥平面BDE,AC⊂平面ABC
∴平面ABC⊥平面BDE且交线为BE,…(7分)
过D作平面ABC的垂线DF,垂足F必在直线BE上
又∠DEB=120°,∴设F在BE延长线上,则∠DBE即为BD与底面ABC所成的角 …(9分)
又△DEB中 DB2=DE2+BE2-2BE•DEcos120°=13,∴BD=
13 |
由正弦定理:
DE |
sin∠DBE |
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sin120° |
∴sin∠DBE=
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26 |
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