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已知函数f(x)满足f(3)=1/3,3f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),求f(1812)
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已知函数f(x)满足f(3)=1/3,3f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),求f(1812)
▼优质解答
答案和解析
因为f(3)=1/3,3f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)
令y=3,得f(x)=f(x+3)+f(x-3)
所以,f(x-3)=f(x)+f(x-6)
两式相加,得 f(x+3)+f(x-6)=0
即,f(x)=-f(x-9)
又,f(x-9)=-f(x-18)
所以,f(x)=f(x-18)
即,f(x)=f(x+18)
所以,f(x)的周期为18
1812＝18×100＋12
所以,f(1812)=f(12)
又,f(12)=-f(3)=-1/3
所以,f(1812)=-1/3
令y=3,得f(x)=f(x+3)+f(x-3)
所以,f(x-3)=f(x)+f(x-6)
两式相加,得 f(x+3)+f(x-6)=0
即,f(x)=-f(x-9)
又,f(x-9)=-f(x-18)
所以,f(x)=f(x-18)
即,f(x)=f(x+18)
所以,f(x)的周期为18
1812＝18×100＋12
所以,f(1812)=f(12)
又,f(12)=-f(3)=-1/3
所以,f(1812)=-1/3
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