问一数学推理题有12个球..其中1只质量不同..其他11只质量均相同.现有一台天平.只能称三次(且天平无砝码.即无法称出实际质量.只可做质量的比较)请设法找出质量不同的那只球.并说明是轻还

Question

问一数学推理题
有12个球..其中1只质量不同..其他11只质量均相同.
现有一台天平.只能称三次(且天平无砝码.即无法称出实际质量.只可做质量的比较)
请设法找出质量不同的那只球.并说明是轻还是重了.(可以给每个球编号)

Answer 1

将12个球任意分成3组,每组4个.分别任意编号为A、B、C、D；a、b、c、d和1、2、3、4.
将A、B、C、D（在左）和a、b、c、d（在右）这两组放到天平左右两边.会出现三种情况：
第一种情况：天平保持平衡.那么有问题的球只能在1、2、3、4这四个球当中.将a、b、c三个球从天平上拿下来,1、2、3三个球放到天平右边.会出现3种情况：
第1种情况：天平平衡.则有问题的球是4号球.这时把所有的球从天平上撤下来,将4号球和任何一个其他球分别放在天平两边,可以知道有问题的4号球是轻还是重；
第2种情况：天平左重右轻.则有问题的球在1、2、3三个球当中,而且有问题的球是轻的.将所有的球从天平上撤下来,将1号球和2号球分别放置在天平两边,若平衡,则3号球有问题；若不平衡,则哪边高哪边的球是问题球.
第3种情况：天平右重左轻,则有问题的球在1、2、3三个球当中,而且有问题的球是重的.以下步骤参照“第2种情况”后半步.
第二种情况：天平左重右轻.则1、2、3、4四个球是正常球.
将a、b、c三个球从天平右边取下,将1、2、3三个球放在天平右边.现在天平的左边四个球是A、B、C、D,右边四个球是1、2、3、d.将d球与D球互换一下位置,现在天平的左边四个球是A、B、C、d,右边四个球是1、2、3、D.（请记住.）换位置以后可能出现3种情况：
第1种情况：天平恢复平衡.则天平上现有的8个球都是正常球,有问题的球在a、b、c三个球当中且问题球为轻的.下面的步骤不需要赘述了吧?
第2种情况：天平仍然左重右轻.则取下的a、b、c三个球是正常球,这不需要证明.因为d球是从原来轻的右边换过来的,现在右边还是轻,说明d球没有问题；同理,D球也没有问题.现在有9个球是没有问题的,分别是：1、2、3、4、a、b、c、d和D.可以知道,问题球在A、B、C三个球当中,且该球为重的.以下从略.
第3种情况：天平发生相反的变化——左轻右重.则取下的a、b、c三个球是正常球,这不需要证明.由于A、B、C三个球始终在左边,说明导致天平反向倾斜的因素不是它们中间的任何一个.现在我们有个10球是正常球,分别是：1、2、3、4、a、b、c、A、B、C,有问题的球非D即d.不是D重就是d轻.将其他球从天平上取下,将D球放在天平左边,任意一个正常球放在天平右边.只有两种情况：若平衡,则问题球是d球,为轻；若不平衡,则D球是问题球,重.
第三种情况：天平右重左轻.则1、2、3、4四个球是正常球.后续证明参照第二种情况.因为编号是任意的,实际上第三种情况与第二种情况没有本质区别.