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已知函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),若f(x)满足:(x-1)[f′(x)-f(x)]>0,f(2-x)=f(x)e2-2x,则下列判断一定正确的是()A.f(1)<f(0)B.f(2)>ef(0)C.f(3
题目详情
已知函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),若f(x)满足:(x-1)[f′(x)-f(x)]>0,f(2-x)=f(x)e2-2x,则下列判断一定正确的是( )
A. f(1)<f(0)
B. f(2)>ef(0)
C. f(3)>e3f(0)
D. f(4)<e4f(0)
A. f(1)<f(0)
B. f(2)>ef(0)
C. f(3)>e3f(0)
D. f(4)<e4f(0)
▼优质解答
答案和解析
令g(x)=
,则g′(x)=
.
∵f(x)满足:(x-1)[f′(x)-f(x)]>0,
∴当x<1时,f′(x)-f(x)<0.∴g′(x)<0.此时函数g(x)单调递减.
∴g(-1)>g(0).即
>
=f(0).
∵f(2-x)=f(x)e2-2x,∴f(3)=f(-1)e4>e-1f(0)•e4=e3f(0).
故选C.
f(x) |
ex |
f′(x)−f(x) |
ex |
∵f(x)满足:(x-1)[f′(x)-f(x)]>0,
∴当x<1时,f′(x)-f(x)<0.∴g′(x)<0.此时函数g(x)单调递减.
∴g(-1)>g(0).即
f(−1) |
e−1 |
f(0) |
e0 |
∵f(2-x)=f(x)e2-2x,∴f(3)=f(-1)e4>e-1f(0)•e4=e3f(0).
故选C.
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