已知m+1/m=1,则y=f(m)=m^2008+1/m^2005急.写错了是m^2008+1/m^2015

Question

已知m+1/m=1,则y=f(m)=m^2008+1/m^2005 急.
写错了 是m^2008+1/m^2015

Answer 1

∵m＋1/m＝1,∴m^2＋1＝m,∴m^2－m＋1＝0,
∴m＝（1＋√3i）/2＝cos60°＋isin60°,或m＝（1－√3i）/2＝cos（－60°）＋isin（－60°）.
一、当m＝cos60°＋isin60°时,
m^2008
＝（cos60°＋isin60°）^2008＝cos2008×60°＋isin2008×60°
＝cos（334×6×60°＋4×60°）＋isin（334×6×60°＋4×60°）
＝cos（180°＋60°）＋isin（180°＋60°）＝－cos60°－isin60°＝－1/2－√3i/2.
m^2015
＝（cos60°＋isin60°）^2015＝cos2015×60°＋isin2015×60°
＝cos（335×6×60°＋5×60°）＋isin（335×6×60°＋5×60°）
＝cos（360°－60°）＋isin（360°－60°）＝cos60°－isin60°＝1/2－√3i/2.
∴m^2008＋1/m^2015
＝－1/2－√3i/2＋1/（1/2－√3i/2）＝－1/2－√3i/2＋（1/2＋√3i/2）/（1/4＋3/4）＝0.
二、当m＝cos（－60°）＋isin（－60°）时,
m^2008
＝［cos（－60°）＋isin（－60°）］^2008
＝cos2008×60°－isin2008×60°＝cos（334×6×60°＋4×60°）－isin（334×6×60°＋4×60°）
＝cos（180°＋60°）－isin（180°＋60°）＝－cos60°＋isin60°＝－1/2＋√3i/2.
m^2015
＝［cos（－60°）＋isin（－60°）］^2015＝cos2015×60°－isin2015×60°
＝cos（335×6×60°＋5×60°）－isin（335×6×60°＋5×60°）
＝cos（360°－60°）－isin（360°－60°）＝cos60°＋isin60°＝1/2＋√3i/2.
∴m^2008＋1/m^2015
＝－1/2＋√3i/2＋1/（1/2＋√3i/2）＝－1/2＋√3i/2＋（1/2－√3i/2）/（1/4＋3/4）＝0.
综上一、二所述,得：m^2008＋1/m^2015＝0.