在数列｛a(n)｝,{b(n)}中,a(1)=2,b(1)=4,且a(n),b(n),a(n+1)成等差数列,b(n),a(n+1),b(n+1)成等比数列（1）求｛a(n)｝,{b(n)}的通项公式（2）求（1/（a1+b1））+（1/（a2+b2））+……+（1/（an+bn））

Question

在数列｛a(n)｝,{b(n)}中,a(1)=2,b(1)=4,且a(n),b(n),a(n+1)成等差数列,b(n),a(n+1),b(n+1) 成等比数列
（1）求｛a(n)｝,{b(n)}的通项公式
（2）求（1/（a1+b1））+（1/（a2+b2））+……+（1/（an+bn））

Answer 1

本题比较有意思,这里详细解答出来.
根据题意：
2b(n)=a(n)+a(n+1).(1)
a²(n+1)=b(n)*b(n+1).(2)
因此,可得：
a(1)=2,b(1)=4
a(2)=6,b(2)=9
a²(n+1)=(1/2)[a(n)+a(n+1)]*(1/2)[a(n+1)+a(n+2)]
4a²(n+1)=[a(n)+a(n+1)]*[a(n+1)+a(n+2)]
易知,an≠0,则：
4=[a(n)/a(n+1) + 1]*[1+a(n+2)/a(n+1)]
令c(n)=a(n)/a(n+1),则：c(1)=1/3
于是：
4=[c(n)+1]*[1+1/c(n+1)]
则：
c(n+1)=[c(n)+1]/[-c(n)+3] (c(n)≠3) .(3)
上式的特征方程为：
x=(x+1)/(-x+3)
解得：
x=1
因此：(3)可以化简成：
1/[c(n+1) - 1] = (-1/2) + 1/[c(n) - 1]
再令：d(n)=1/[c(n) - 1],d(1)= -3/2,则：
d(n+1) = (-1/2) + d(n)
因此：
数列{d(n)}是公差为(-1/2),首项d(1)=-3/2的等差数列,所以：
d(n)=1/[c(n) - 1]=-1-n/2
c(n)=a(n)/a(n+1)=n/(n+2)
则：
a(n)/a(n-1)=(n+1)/(n-1)
a(n-1)/a(n-2)=n/(n-2)
.
a3/a2=8/4
a2/a1=6/2
上述各式相乘,得：
an/1=n(n+1)
因此：
an=n(n+1)
带入（1）可得：
b(n)=(n+1)²
验证当c(n)=3时,原式不成立,因此只能是上述求解.
(2)
1/[a(n)+b(n)]=1/[(n+1)(2n+1)]
=2 * {[2n+2)-(2n+1)]/[(2n+2)(2n+1)]}
=2 * [1/(2n+1) - 1/(2n+2)]
因此：
原式=
2*[(1/3 - 1/4)+(1/5 - 1/6)+.+1/(2n+1) - 1/(2n+2)]
=2*[1/3-1/4+1/5-1/6+.+1/(2n+1)-1/(2n+2)]
本问超出了高中数学范围,不能求出具体带有n的多项式表达,如果你学过级数就可以知道,
1-1/2+1/3-1/4+.=ln2,
则：
1/3-1/4+1/5-1/6+.+1/(2n+1)-1/(2n+2) < ln2+1/2-1=ln2-1/2
于是：
原式＜2ln2-1
如果利用放缩法,则：
1/(an+bn)=1/(n+1)(2n+1)< 1/2n(n+1)=1/2（1/n-1/n+1）
则：
原式=1/6+[(1/2-1/3)/2+(1/3-1/4)/2+……+(1/n-1/(n+1))/2]
=1/6+1/4-1/(2(n+1))