提问一个极限题,求1+1/4+1/9+…+1/n^2当n趋向于正无穷的极限结果是π^2/6

Question

提问一个极限题,
求1 + 1/4 + 1/9 + … +1/n^2 当n趋向于正无穷的极限
结果是 π^2/6

Answer 1

先将周期为2π的函数
f(x)=x(2π-x)/4,x∈[0,2π]
展开为傅里叶级数.
∵a0=1/π∫(0,2π)[x(2π-x)/4]dx=π²/3 (积分中间运算过程约去)
an=1/π∫(0,2π)[x(2π-x)/4]cos(nx)dx=-1/n² (积分中间运算过程约去)
bn=1/π∫(0,2π)[x(2π-x)/4]sin(nx)dx=0 (积分中间运算过程约去)
(n=1,2,3,.)
又f(x)=x(2π-x)/4在[0,2π]上处处可导,f(0+0)=f(2π-0)
∴根据收敛定理有 x(2π-x)/4=a0/2+∑[ancos(nx)+bnsin(nx)]
=π²/6-∑cos(nx)/n² (n=1,2,3,.) (x∈[0,2π])
在上式中,令x=0,可得 0=π²/6-∑1/n² (n=1,2,3,.)
==>π²/6=∑1/n² (n=1,2,3,.)
故1+1/2²+1/3²+.+1/n²+.=π²/6.