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如图,在正方形ABCD中,AB=2,E是AD边上一点(点E与点A,D不重合).BE的垂直平分线交AB于M,交DC于N.(1)设AE=x,四边形ADNM的面积为S,写出S关于x的函数关系式;(2)当AE为何值时,四边形
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如图,在正方形ABCD中,AB=2,E是AD边上一点(点E与点A,D不重合).BE的垂直平分线交AB于M,交DC于N.
(1)设AE=x,四边形ADNM的面积为S,写出S关于x的函数关系式;
(2)当AE为何值时,四边形ADNM的面积最大?最大值是多少?
(1)设AE=x,四边形ADNM的面积为S,写出S关于x的函数关系式;
(2)当AE为何值时,四边形ADNM的面积最大?最大值是多少?
▼优质解答
答案和解析
(1)连接ME,设MN交BE于P,根据题意,得
MB=ME,MN⊥BE.(2分)
过N作AB的垂线交AB于F.
在Rt△MBP中,∠MBP+∠BMN=90°,
在Rt△MNF中,∠FNM+∠BMN=90°,
∴∠MBP=∠MNF.
在Rt△EBA与Rt△MNF中,
∵AB=FN,
∴Rt△EBA≌Rt△MNF,故MF=AE=x.
在Rt△AME中,AE=x,ME=MB=AB-AM=2-AM,
∴(2-AM)2=x2+AM2.
4-4AM+AM2=x2+AM2,即4-4AM=x2,
解得AM=1-
x2.(5分)
所以梯形ADNM的面积S=
×AD=
×2
=AM+AF=AM+AM+MF=2AM+AE
=2(1-
x2)+x
=-
x2+x+2
即所求关系式为s=-
x2+x+2.(8分)
(2)s=-
x2+x+2=-
(x2-2x+1)+
=-
(x-1)2+
故当AE=x=1时,四边形ADNM的面积S的值最大,最大值是
.
MB=ME,MN⊥BE.(2分)
过N作AB的垂线交AB于F.
在Rt△MBP中,∠MBP+∠BMN=90°,
在Rt△MNF中,∠FNM+∠BMN=90°,
∴∠MBP=∠MNF.
在Rt△EBA与Rt△MNF中,
∵AB=FN,
∴Rt△EBA≌Rt△MNF,故MF=AE=x.
在Rt△AME中,AE=x,ME=MB=AB-AM=2-AM,
∴(2-AM)2=x2+AM2.
4-4AM+AM2=x2+AM2,即4-4AM=x2,
解得AM=1-
1 |
4 |
所以梯形ADNM的面积S=
AM+DN |
2 |
AM+AF |
2 |
=AM+AF=AM+AM+MF=2AM+AE
=2(1-
1 |
4 |
=-
1 |
2 |
即所求关系式为s=-
1 |
2 |
(2)s=-
1 |
2 |
1 |
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5 |
2 |
1 |
2 |
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故当AE=x=1时,四边形ADNM的面积S的值最大,最大值是
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