矩阵高手进,矩阵方面的超级难题!任何一个实对称正定矩阵都可以表示成一个实对称正定矩阵的平方,即若A为实对称正定阵,则A可以表示为A=B^2,其中B为实对称正定阵.希望可以给出证明.

Question

矩阵高手进,矩阵方面的超级难题!
任何一个实对称正定矩阵都可以表示成一个实对称正定矩阵的平方,即
若A为实对称正定阵,则A可以表示为A=B^2 ,其中B为实对称正定阵.希望可以给出证明.

Answer 1

实对称矩阵可以对角化为其Jordan标准型,并且它是正定矩阵当且仅当其Jordan型对角线上元素为正.
所以设A=PDP^（-1）,其中D为对角阵,对角线上元素为d1,d2,...,dn,则令对角矩阵K对角线上元素为sqrt(d1),sqrt(d2),...,sqrt(dn),其中sqrt()表示开平方取非负根.
令B=PKP^(-1),则A=B*B,且B正定.