微积分的1.请举出一个外函数可积,内函数连续,但是复合函数不可积的例子.2.一个函数f,如果有原函数,（即是另一个函数的导函数）,那么这个函数f是未必可积的,因为可能无界但如果一个函数

Question

微积分的
1.请举出一个外函数可积,内函数连续,但是复合函数不可积的例子.
2.一个函数f,如果有原函数,（即是另一个函数的导函数）,那么这个函数f是未必可积的,因为可能无界
但如果一个函数既有原函数,又有界,那么是否可积?
这个问题我想不通
幸好不是清华数学系的那位匿名的老兄：
你第二次给出的例子，我想g并不是连续的。你观察在点x=2/3处右端的情况就知道了。而且一个函数不连续，还是有可能可积的。所以你最后一句复合函数fg在A1上不连续，因而不可积，是没有根据的。
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chenjiajiale：
能否把你的证明再详细写一下？

Answer 1

1.这样的例子不存在.
证明：
设f(u),g(x)分别是复合函数f(g(x))的外函数和内函数.由题,f(u)可积,g(x)连续.
由f(u)可积,设f(u)的不连续点的集合U,则m(U)=0,U至多可数.设u0属于U,则集合Eu0={x0|u0=g(x0),f(g(x0))是f(g(x))的不连续点}的测度只能是0.否则,若m(Eu0)>0,则必有x轴(实数集R)上测度大于0的区间I属于Eu0,I中的每个内点x0都取值f(u0),从而f(g(x))在x0点连续,与Eu0的定义矛盾.设集合EU=Eu0的并集(u0属于U),则EU至多可数,从而m(EU)=0
设V是f(u)的所有连续点的集合.任取v0属于V,则对任意的x0,f(x0)=v0,f(g(x))在x0点连续.
从而EU是f(g(x))的所有不连续点的集合.
因为m(EU)=0,所以f(g(x))可积.
注1：实变函数Riemann可积的充要条件是不连续点的测度为0.本定理一般出现在在实变函数课程中.但徐森林的《数学分析》教材中有证明.可去图书馆参考.
绝对是Riemann可积的充要条件.你查查文献再问问题.
注2：证明的思想是,f(u)的连续点依然是f(g(x))的连续点；故f(g(x))的不连续点只能在f(u)的不连续点上.讨论f(u)的不连续点的定义域,可知,f(g(x))的不连续点的测度为0
注3：应该也能用分划的方法证明,只是麻烦
2.如果一个函数既有原函数,又有界,那么在闭区间上必然可积
证明：设f(x)在[a,b]上有界,存在[a,b]上的函数F'(x)=f(x).
任取[a,b]的分划S:
a=x0