X^2+Y^2≦1,求3XY-2(X+Y)的最大最小值

Question

X^2+Y^2≦1,求3XY-2(X+Y) 的最大最小值

Answer 1

设x=rcosθ,y=rsinθ,则01,所以此函数在（0,1】上是增函数；
所以r=1时取到最大值3/2+2√2.
或者就直接利用几何意义知：x²+y²≤1表示圆域,关于x,y的二元函数要取得最值,必然在边界线上取；所以直接令x²+y²=1,则t=x+y∈[-√2,√2]
xy=[（x+y)²-(x²+y²)]/2=(t²-1)/2;
所以3xy-2(x+y)=(3/2)(t²-1)-2t=(3/2)[(t-2/3)²-13/9]
这个二次函数在[-√2,2/3]上递减,在[2/3,√2]上递增,
所以t=2/3时,函数取得最小值-13/6;
t=-√2时,函数取得最大值3/2+2√2.