已知被积函数∫f（x）的一个原函数是F（x）,F（x）恒大于零,且F（x）×f（x）=x,求f（x）不好意思刚才漏了一个条件：F（0）=1

Question

已知被积函数∫f（x）的一个原函数是F（x）,F（x）恒大于零,且F（x）×f（x）=x,求f（x）
不好意思刚才漏了一个条件：F（0）=1

Answer 1

∵∫f(x)的一个原函数是F(x)
∴F'(x)=f(x)
∵F(x)*f(x)=x
∴F(x)*F'(x)=x ==>F(x)d(F(x))=xdx
==>(F(x))²/2=x²/2+C/2 (C是积分常数)
==>(F(x))²=x²+C
∵F(x)恒大于零
∴F(x)=√(x²+C) ==>F'(x)=x/√(x²+C)
故f(x)=F'(x)=x/√(x²+C) (C是积分常数).