导数利用单调性证明不等式Inx＜x＜e^x,x＞0恒成立证明Inx＜x＜e^x,

Question

【导数】利用单调性证明不等式 In x＜x＜e^x ,x＞0恒成立
证明 In x＜x＜e^x ,

Answer 1

f(x)=lnx,g(x)=e^x
做与直线y=x平行且分别于f(x)=lnx,g(x)=e^x
相切的直线l1:y=x+m,l2:y=x+n
f'(x)=1/x,令f'(x)=1即1/x=1 ==>x=1,f(1)=0
h'(x)=e^x,e^x=1==>x=0,y=1
l1:y=x-1,l2:y=x+1
u(x)= f(x)-x+1=lnx-x+1,u'(x)=1/x-1=(1-x)/x
00,∴v(x）为增函数
v(x)>v(0)=0∴e^x-x-1>0
==> e^x>x+1
又 x-1< xlnx≤x/e