一直椭圆x^2+y^/2=1过点A（-根号3,0）的直线l交椭圆于M、N两点,以MN为直径的圆恰过椭圆中心,求直线方程

Question

一直椭圆x^2+y^/2=1过点A（-根号3,0）的直线l交椭圆于M、N两点,以MN为直径的圆恰过椭圆中心,求直线方程

Answer 1

设直线 l 的斜率为k,则：直线 l 的方程是y＝k（x＋√3）.
联立x^2＋y^2/2＝1、y＝k（x＋√3）,消去y,得：x^2＋k^2（x＋√3）^2/2＝1,
∴2x^2＋k^2x^2＋2√3k^2x＋3k^2－2＝0,∴（2＋k^2）x^2＋2√3k^2x＋3k^2－2＝0.
∵M、N在直线y＝k（x＋√3）上,
∴可令M、N的坐标分别是（m,km＋√3k）、（n,kn＋√3k）.
显然,m、n是方程（2＋k^2）x^2＋2√3k^2x＋3k^2－2＝0的根,∴由韦达定理,有：
m＋n＝－2√3k^2/（2＋k^2）、mn＝（3k^2－2）/（2＋k^2）.
向量OM＝（m,km＋√3k）、向量ON＝（n,kn＋√3k）.
∵以MN为直径的圆过椭圆的中心,而椭圆的中心是坐标原点O,∴OM⊥ON.
∴向量OM·向量ON＝0,
∴mn＋（km＋√3k）（kn＋√3k）＝0,
∴mn＋k^2mn＋√3k^2（m＋n）＋3k^2＝0,
∴（1＋k^2）（3k^2－2）/（2＋k^2）－√3k^2［2√3k^2/（2＋k^2）］＋3k^2＝0,
∴（1＋k^2）（3k^2－2）－6k^4＋3k^2（2＋k^2）＝0,
∴3k^2－2＋3k^4－2k^2－6k^4＋6k^2＋3k^4＝0,
∴7k^2＝2,∴k＝√14/7,或k＝－√14/7.
∴满足条件的直线 l 的方程有两个,分别是：
y＝（√14/7）（x＋√3）、y＝－（√14/7）（x＋√3）.