已知a大于等于0,函数f(x)=x^2+ax.设x1属于（负无穷,-a/2）,记曲线y=f(x)在点M(x1,f(x1))处的切线为l,l与x轴的交点是N(x2,0),O为坐标原点（1）证明：x2=x1^2/(2x1+a)(2)若对于任意x1属于（负无穷,-a/2）,都有

Question

已知a大于等于0,函数f(x)=x^2+ax.设x1属于（负无穷,-a/2）,记曲线y=f(x)在点M(x1,f(x1))处的切线为l,l与x轴的交点是N(x2,0),O为坐标原点
（1）证明：x2=x1^2/(2x1+a)
(2)若对于任意x1属于（负无穷,-a/2）,都有向量OM*向量ON大于9a/16成立,求a的范围

Answer 1

1)
f'=2x+a
f'(x1)=2x1+a
f(x1)=x1^2+ax1
曲线y=f(x)在点M(x1,f(x1))处的切线为
l: y=(2x1+a)(x-x1)+x1^2+ax1
x2为直线l的根：代入上式得：
(2x1+a)(x2-x1)+x1^2+ax1=0
x2-x1=-(x1^2+ax1)/(a+2x1)
x2=x1-(x1^2+ax1)/(a+2x1)
=(ax1+2x1^2-x1^2-ax1)/(a+2x1)
=x1^2/(a+2ax1)
得证~
2)OM=(x1,f(x1))
ON=(x2,0)
OM*ON=x1x2>9a/16

x1^3/(2x1+a)>9a/16
x1