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设A,B,C,D是空间中不同的四点,求证：1.若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线.2.若AB=AC,DB=DC,则AD⊥BC最好有图
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设A,B,C,D是空间中不同的四点,求证：1.若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线.2.若AB=AC,DB=DC,则AD⊥BC
最好有图
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答案和解析
1,反证法：
设AD与BC不是异面直线,则AD与BC共面,则A,B,C,D四点共面,则AC与BD也共面,与题设AC与BD是异面直线矛盾,所以AD与BC是异面直线.
2,设BC中点为E,∵AB=AC
∴AE⊥BC,
又∵DB=DC,∴DE⊥BC,∴BC⊥平面ADE,∴BC⊥AD
设AD与BC不是异面直线,则AD与BC共面,则A,B,C,D四点共面,则AC与BD也共面,与题设AC与BD是异面直线矛盾,所以AD与BC是异面直线.
2,设BC中点为E,∵AB=AC
∴AE⊥BC,
又∵DB=DC,∴DE⊥BC,∴BC⊥平面ADE,∴BC⊥AD
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