如何用积分法计算绕圆柱面旋转的螺旋线长度?假如圆柱体的底面直径为0.5m,每一圈螺旋的间距为0.2m.

Question

如何用积分法计算绕圆柱面旋转的螺旋线长度?
假如圆柱体的底面直径为0.5m,每一圈螺旋的间距为0.2m.

Answer 1

这个可以用参数积分来做.建立空间直角坐标系,原点O在圆柱底面圆心,螺线圈下端起点在x轴正半轴上,假设落选方向从上往下看位逆时针方向.
则我们可以得到这个螺线圈上每一点的坐标：x(t)=0.25cost,y(t)=0.25sint,z(t)=kt (k>0且k∈R)
我们要做的就是确定k的取值,使每一圈螺线的间距为0.2
也就是说,z(t+2π)-z(t)=0.2,带入z(t)=kt中算得k=1/(10π)
所以,螺线的轨迹方程为x(t)=0.25cost,y(t)=0.25sint,z(t)=t/(10π) (t≥0)
因为高为3,所以当z=3时算的t=30π
螺线圈的长度就是螺线圈轨迹积分,从0→30π
L=∫√{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2+[z'(t)]^2}dt
=∫√[1/16+1/(100π^2)]dt
=√[1/16+1/(100π^2)]*30π
=(3/2)√(25π^2+4)
故,螺线圈的长度为(3/2)√(25π^2+4)米