如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，AD=2AB=2PA=2，E为PD的上一点，且PE=2ED．（Ⅰ）若F为PE的中点，求证：BF∥平面AEC；（Ⅱ）求三棱锥P-AEC的体积．

Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，AD=2AB=2PA=2，E为PD的上一点，且PE=2ED．

（Ⅰ）若F为PE的中点，求证：BF∥平面AEC；
（Ⅱ）求三棱锥P-AEC的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O，连接OE，
∵E为PD的上一点，且PE=2ED，F为PE的中点
∴E为DF中点，OE∥BF      （5分）    
又∵BF⊄平面AEC，∴BF∥平面AEC     （6分）
（Ⅱ）∵侧棱PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD
∴PA⊥CD，
∵CD⊥AD，AD∩PA=A，
∴CD⊥平面PAD，（9分）
又AD=2AB=2PA=2，
∴三棱锥P-AEC的体积为VP−AEC＝VC−AEP＝(1)/(3)CD•S△PAE＝(1)/(3)CD•(2)/(3)S△PAD＝(2)/(9)×1×(1)/(2)×1×2＝(2)/(9)（12分）