所有的递推公式都可以总结出通项公式么?

Question

所有的递推公式都可以总结出通项公式么?

Answer 1

递推公式和通项公式都是数列的表示方法,但不是所有的递推公式都能总结出通项公式的,最著名的应该是数学史上的“斐波那契数列”,也就是母兔生小兔问题所衍生的数列,就是典型的只能用递推公式而不能用通项公式表示的例子.在这里简单介绍一下：
1202年,意大利数学家斐波那契在他的著作《算盘全书》中提出了一个关于兔子繁殖的问题：
如果一对兔子每月能生1对小兔子（一雄一雌）,而每对小兔子在它出生后的第三个月里,又能生1对小兔子,假定在不发生死亡的情况下,由1对初生的小兔子开始,50个月后会有多少对兔子?
结果发现构成的数列是：
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233.
只能用递推公式Fn=F（n-1）+F（n-2）表示（每一项等于前两项之和）
至今数学家们也没有找到其通项公式