概率期望题,求算法,或者给个n不算太小的简单解也可以.假设有n*n个灯泡,开始都是亮的.每秒钟,亮的灯泡有50%的概率变暗,而暗的灯泡仅当上下左右有亮的灯泡时才有50%的几率变亮(只管有无,不

Question

概率期望题,求算法,或者给个n不算太小的简单解也可以.
假设有n*n个灯泡,开始都是亮的.每秒钟,亮的灯泡有50%的概率变暗,而暗的灯泡仅当上下左右有亮的灯泡时才有50%的几率变亮(只管有无,不管多少),那所有灯泡都变暗的期望时间是多少?

Answer 1

你确定这个问题有一个有限的期望时间?顺着计算很复杂,
于是我反着从最后推,假设只剩1个灯泡发亮,这时候它上下左右的暗灯泡都有50%的几率变亮,按照数学期望,总共5个灯泡会有2.5个灯泡发亮.这就出现了一个逆流,原本从一开始按照规则亮灯泡的数量是一直变少的,暗灯泡会一直增多（因为暗灯泡有个保护条件,从总体上说每次不变亮的期望个数会比亮的多）,而现在亮灯却从1个变成2.5个,即使向下取整也有2个.按照这个思路,这2个灯泡也会为周围至少6暗灯泡带来“希望”,即使下一秒这2个亮灯全暗,其上下左右的6灯又有了变亮的几率,期望值为3个,亮灯泡数量再次增多.
这时候亮灯泡数量明显进入一个摇摆,虽不可能“逆袭”追上暗灯数量,但却会在少数的数目上不停变动,即无法给出一个大概的期望时间范围