在平面上有A,B,P,Q四个点,A,B为两定点,且AB=根号3,P,Q为两个动点,且AP=PQ=QB=1,记△APB与△PQB的面积分为S,T（1）求S^2+T^2的最大值（2）当S^2+T^2取得最大值时,判断△APB的形状第二题是等腰三角形,

Question

在平面上有A,B,P,Q四个点,A,B为两定点,且AB=根号3,P,Q为两个动点,且AP=PQ=QB=1,记△APB与△PQB的面积分
为S,T
（1）求S^2+T^2的最大值
（2）当S^2+T^2取得最大值时,判断△APB的形状
第二题是等腰三角形,

Answer 1

（1）
设PB=x,三角形APB在PB上的高为h1,三角形PQB在PB上的高为h2.
则：
(1^2-(h1)^2)^0.5+((3^0.5)^2-(h1)^2)^0.5=x
(1^2-(h2)^2)^0.5+(1^2-(h2)^2)^0.5=x
可得：
(h1)^2=-(x^2)/4+2-1/(x^2)
(h2)^2=1-(x^2)/4
S=xh1/2
T=xh2/2
S^2+T^2=(1/4)*(x^2)*((h1)^2+(h2)^2)
=(-1/8)*((x^2-3)^2-7)
其中x∈[3^0.5-1,2]
当x=3^0.5时,S^2+T^2取最大值7/8
（2）
此时三角形APB中：AB=3^0.5,BP=3^0.5,PA=1
可以看出是等腰三角形.