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在三角形ABC中,角ABC所对的边分别是abc,且cosA=(2√5)/5,tanB=1/3.(1)求tanC的值(2)若三角形ABC最长边为1,求最短的边长
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在三角形ABC中,角A B C所对的边分别是a b c,且cosA=(2√5)/5,tanB=1/3.(1)求tanC的值(2)若三角形ABC最长边为1,求最短的边长
▼优质解答
答案和解析
第一个问题:
∵cosA=2√5/5,∴sinA=√[1-(cosA)^2]=√[1-(2√5/5)^2]=√5/5.
∴tanA=sinA/cosA=(√5/5)/(2√5/5)=1/2,又tanB=1/3,显然有:C=180°-A-B,
∴tanC=tan(180°-A-B)=-tan(A+B)=-(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
=-(1/2+1/3)/[1-(1/2)×(1/3)]=-(3+2)/(6-1)=-1.
第二个问题:
∴tanC<0,∴C是钝角,∴AB是△ABC中最长的边,∴AB=1.
∵tanA=1/2、tanB=1/3,∴tanA>tanB,∴A>B,∴AC是△ABC中最短的边.
由tanC=-1,得:C=135°,∴sinC=√2/2.
由tanB=1/3,得:sinB/cosB=1/3,∴(sinB)^2/(cosB)^2=1/9,
∴(cosB)^2=9(sinB)^2,∴1-(sinB)^2=9(sinB)^2,∴10(sinB)^2=1,
∴sinB=1/√10.
由正弦定理,有:AC/sinB=AB/sinC,∴AC=ABsinB/sinC=(1/√10)/(√2/2)=√5/5.
即:△ABC的最短边的长为√5/5.
∵cosA=2√5/5,∴sinA=√[1-(cosA)^2]=√[1-(2√5/5)^2]=√5/5.
∴tanA=sinA/cosA=(√5/5)/(2√5/5)=1/2,又tanB=1/3,显然有:C=180°-A-B,
∴tanC=tan(180°-A-B)=-tan(A+B)=-(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
=-(1/2+1/3)/[1-(1/2)×(1/3)]=-(3+2)/(6-1)=-1.
第二个问题:
∴tanC<0,∴C是钝角,∴AB是△ABC中最长的边,∴AB=1.
∵tanA=1/2、tanB=1/3,∴tanA>tanB,∴A>B,∴AC是△ABC中最短的边.
由tanC=-1,得:C=135°,∴sinC=√2/2.
由tanB=1/3,得:sinB/cosB=1/3,∴(sinB)^2/(cosB)^2=1/9,
∴(cosB)^2=9(sinB)^2,∴1-(sinB)^2=9(sinB)^2,∴10(sinB)^2=1,
∴sinB=1/√10.
由正弦定理,有:AC/sinB=AB/sinC,∴AC=ABsinB/sinC=(1/√10)/(√2/2)=√5/5.
即:△ABC的最短边的长为√5/5.
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