已知向量a=(√3sinωx,cosωx),b=(cosωx,-cosωx),(ω>0),函数f(x)=a·b+1/2的图像的两相邻对称轴间距离为π/4﹙1﹚求ω的值﹙2﹚若x∈﹙7π／24,5π／12﹚,f(x)=﹣3／5,求cos4x的值﹙3﹚若cosx≥1／2,x∈﹙0,π﹚,且

Question

已知向量a=(√3sinωx,cosωx),b=(cosωx,-cosωx),(ω>0),
函数f(x)=a·b+1/2的图像的两相邻对称轴间距离为π/4
﹙1﹚求ω的值
﹙2﹚若x∈﹙7π／24,5π／12﹚,f(x)=﹣3／5,求cos4x的值
﹙3﹚若cosx≥1／2,x∈﹙0,π﹚,且f(x)=m有且仅有一个实根,求实数m

Answer 1

f(x)=a*b+1/2=√3sin(ωx)cos(ωx)-[cos(ωx)]^2+1/2=√3/2*sin(2ωx)-[1+cos(2ωx)]/2+1/2
=sin(2ωx-π/6) .
（1）由于函数图像的两相邻对称轴间距离为 π/4 ,
因此函数最小正周期为 T=2π/(2ω)=2*π/4 ,
解得 ω=2 .
（2）由（1）得 f(x)=sin(4x-π/6)= -3/5 ,
因为 x∈(7π/24,5π/12) ,所以 cos(4x-π/6)= -4/5 ,
则 cos(4x)=cos[(4x-π/6)+π/6]=cos(4x-π/6)cos(π/6)-sin(4x-π/6)sin(π/6)
=(-4/5)*(√3/2)-(-3/5)*(1/2)=(3-4√3)/10 .
（3）因为 cosx>=1/2 ,x∈(0,π) ,
所以 0